Federico Villarreal
Federico Villarreal fue un matemático, ingeniero, físico y políglota peruano que realizó investigaciones en el área de teoría de números, álgebra, geometría, análisis infinitesimal, mecánica, astronomía y resistencia de materiales. Su obra célebre, un método para elevar un polinomio de grado cualquiera a una potencia cualesquiera.
Muchos quizás conocen el binomio de newton, que no es mas que una combinación lineal entre los coeficientes binomiales que dependen del exponente y el número del término y las variables que conforman al binomio. Es decir:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff](a+b)^{n}=a^{n}+ {n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}a^{n-3}b^{3}+ \ldots+{n \choose n-1}ab^{n-1}+b^{n}[/latex]
Este binomio tiene las siguientes características:
- El primer término del desarrollo es [latex size=0 color=000000 background=ffffff]a^{n}[/latex] y el último es [latex size=0 color=000000 background=ffffff]b^{n}[/latex]
- El desarrollo tiene exactamente n+1 términos
- El k-ésimo término viene dado por [latex size=0 color=000000 background=ffffff]T_{k}={n \choose k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}[/latex]
- Si el binomio es una suma todos los términos del desarrollo son positivos, si es una resta el signo de los términos va alternado.
- En los términos consecutivos la potencia del primer término va disminuyendo en 1 mientras que la potencia del segundo va aumentando 1.
Dejando el binomio por un lado, viene lo excitante, los coeficientes del polinimio [latex size=0 color=000000 background=ffffff]f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-3}x^{n-3}+ \ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}[/latex] elevado a la potencia m [latex size=0 color=000000 background=ffffff](m\in \mathbb{N})[/latex] vienen dados por:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} \left [ \frac{(k-i)(m+1)-k}{k} \right] \left( \frac{a_{k-i}}{a_{0}} \right)b_{i}[/latex]
Aunque la obra original trabaja un método para una potencia cualquiera, aquí vamos a trabajar con un exponente natural de tal forma que el polinomio resultante (el polinomio de Villarreal) sea de grado mn. Entonces, manos a la obra:
Sea el polinomio [latex size=0 color=000000 background=ffffff]f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+ \ldots +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}[/latex], completo, ordenado y con [latex size=0 color=000000 background=ffffff]n \in N[/latex] lo queremos elevar a una potencia m tal que [latex size=0 color=000000 background=ffffff]m \in \mathbb{N}[/latex], entonces se obtendrá un polinomio de grado mn (a partir de aquí tomaremos p=mn) que tendrá la forma: [latex size=0 color=000000 background=ffffff]g(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+ \ldots +b_{p-1}x^{p-1}+b_{p}x^{p}[/latex]. Entonces:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff][f(x)]^{m}=g(x)[/latex]
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]m[f(x)]^{m-1}f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)[/latex]
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]m[f(x)]^{m}f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)f(x)[/latex]
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]mg(x)f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)f(x)[/latex]
Realizando las derivadas para f(x) y g(x) se tiene:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]f^{\prime}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+ \ldots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+na_{n}x^{n-1}[/latex]
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]g^{\prime}(x)=b_{1}+2b_{2}x+3b_{3}x^{2}+ \ldots +(p-1)b_{p-1}x^{p-2}+pb_{p}x^{p-1}[/latex]
Se realizan los productos y posteriormente se procede a igualar los coeficientes de exponentes iguales, realizaré una porción de los productos y visualizaremos un patrón.
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]mg(x)f^{\prime}(x)=\left \{ \begin{array}{c}
ma_{1}b_{0}+ma_{1}b_{1}x+ma_{1}b_{2}x^{2}+ma_{1}b_{3}x^{3}+ma_{1}b_{4}x^{4}+ \ldots +ma_{1}b_{p-1}x^{p-1}+ma_{1}b_{p}x^{p}\\
+2ma_{2}b_{0}x+2ma_{2}b_{1}x^{2}+2ma_{2}b_{2}x^{3}+ \ldots +2ma_{2}b_{p-1}x^{p}+2ma_{2}b_{p}x^{p+1}\\
+3ma_{3}b_{0}x^{2}+3ma_{3}b_{1}x^{3}+3ma_{3}b_{2}x^{4}+3ma_{3}b_{3}x^{5}+ \ldots +3ma_{3}b_{p-1}x^{p+1}+3ma_{3}b_{p}x^{p+2}\\
\cdots
\end{array}\right.
[/latex][latex size=0 color=000000 background=ffffff]g^{\prime}(x)f(x)= \left \{ \begin{array}{c}
a_{0}b_{1}+2a_{0}b_{2}x+3a_{0}b_{3}x^{2}+ \ldots +(p-1)a_{0}b_{p-1}x^{p-2}+pa_{0}b_{p}x^{p-1}\\
a_{1}b_{1}x+2a_{1}b_{2}x^{2}+3a_{1}b_{3}x^{3}+ \ldots +(p-1)a_{1}b_{p-1}x^{p-1}+pa_{1}b_{p}x^{p}\\
a_{2}b_{1}x^{2}+2a_{2}b_{2}x^{3}+3a_{2}b_{3}x^{4}+ \ldots + (p-1)a_{2}b_{p-1}x^{p}+pa_{2}b_{p}x^{p+1}\\
+ \cdots
\end{array} \right.
[/latex]
Igualando los términos independientes (aquellos que no están asociados a una variable):
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]ma_{1}b_{0}=a_{0}b_{1} \rightarrow[/latex][latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{1}=\left[ \frac{(m+1)-1}{1} \right] \left( \frac{a_{1}}{a_{0}} \right)b_{0}[/latex]
Igualando los términos lineales:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]ma_{1}b_{1}+2ma_{2}b_{0}=2a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1} \rightarrow [/latex][latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{2}= \left[ \frac{(m+1)-2}{2} \right] \left( \frac{a_{1}}{a_{0}}\right)b_{1}+\left[ \frac{2(m+1)-2}{2} \right] \left( \frac{a_{2}}{a_{o}}\right) b_{0}[/latex]
igualando los términos cuadráticos:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]ma_{1}b_{2}+2ma_{2}b_{1}+3ma_{3}b_{0}=3a_{0}b_{3}+2a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1} \rightarrow[/latex][latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{3}=\left[ \frac{(m+1)-3}{3} \right]\left( \frac{a_{1}}{a_{0}}\right)b_{2}+\left[ \frac{2(m+2)-3}{3}\right]\left( \frac{a_{2}}{a_{0}}\right)b_{1}+\left[ \frac{3(m+1)-3}{3}\right] \left( \frac{a_{3}}{a_{0}}\right)b_{0}[/latex]
Podemos seguir así el resto de nuestras vidas, igualando e igualando, pero podemos hacer algo mejor, notar si los coeficientes vienen descritos por algún término general, si ya lo notaron es:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} \left [ \frac{(k-i)(m+1)-k}{k} \right] \left( \frac{a_{k-i}}{a_{0}} \right)b_{i}[/latex]
Evidentemente, [latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{0}={a_{0}}^{m}[/latex]. Todo este resultado es más conocido como el polinomio finito de Villarreal, quizás en otro momento trabajemos este mismo tema pero con polinomios infinitos y un m que pertenezca a los reales, pero por ahora, a disfrutar la nueva entrada. Si tienes algún tema de interés que quieras que abordemos puedes dejarlo en los comentarios. Saludos!!
