Imagina que tenemos 5 personas sentadas en una banca, ¿de cuántas formas podríamos ordenarlos? Puedes comprobar que son 120 maneras. Pero, ¿cómo se puede llegar a esta conclusión? Bueno, el concepto matemático que entra en juego es el de «factorial». El factorial de un número «n» representado por n! indica las diferentes reordenaciones que se le pueden hacer a los elementos de un conjunto de cardinalidad n (recuerda: la cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que este posee).
Si n es un entero positivo se cumple que [latex size=0 color=000000 background=ffffff]n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times \cdots 3\times 2 \times 1[/latex]. Entonces, regresando a nuestra primer pregunta, podemos responder que las personas pueden ordenarse de 5! maneras, es decir: 5!=5x4x3x2x1=120.
Hay otras formas de expresar la definición del factorial, una de ellas es mediante el uso del símbolo de productorio [latex size=0 color=000000 background=ffffff] n! =\displaystyle\Pi _{k=1}^{n}{k}[/latex]. Otra forma es mediante una relación de recurrencia:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]n!=\begin{cases}1, & \mbox {si n=0}\\
n(n-1)!, & \mbox {si n\textgreater 0}
\end{cases} [/latex]
Una manera de calcular de forma aproximada el factorial de un número es mediante la ecuación de aproximación de Stirling, se tiene que:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff] \displaystyle lim_{n \rightarrow \infty}^{} {\displaystyle \frac{n!}{\sqrt{2 \pi n}\left( \frac{n}{e} \right)^{n}}}=1[/latex]
Frecuentemente se suele escribir en la forma: [latex size=0 color=000000 background=ffffff]n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^{n}[/latex]
Por ejemplo, vemos que para 5!=120, utilizando la ecuación de aproximación de Stirling tenemos que [latex size=0 color=000000 background=ffffff]5! \approx 118.019168[/latex], notamos que hay un error de 1.65% aproximadamente, a medida que aumentamos el valor n Stirling suele ser más preciso.
Hasta ahora hemos hablado del factorial de un número natural, pero muchos se preguntan: ¿existe el factorial para un número racional o para un número complejo?
Es gracias a la función Gamma que podemos generalizar el factorial de un número al conjunto de los números complejos, si la parte real de z es positiva:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\Gamma (z)= \displaystyle \int_{0}^{\infty} {t^{z-1}e^{-t}}dt[/latex]
Converge. Es importante aclarar que esta integral no puede ser extendida al conjunto de enteros negativos o el cero. Si n es un entero positivo se cumple que:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\Gamma (n+1)=n \Gamma (n)=n![/latex]
Esto se demuestra fácilmente al aplicar el método de integral por partes para z=n+1. Como parte final de esta entrada vamos a calcular el factorial de 1/2 ayudándonos de la función error complementaria:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]erfc(x)=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \displaystyle \int_{x}^{\infty} {e^{-t^2}dt}[/latex]
Entonces:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\Gamma (1/2)=\displaystyle \int_{0}^{\infty} {t^{-1/2}e^{-t}dt}[/latex]
Haciendo [latex size=0 color=000000 background=ffffff]t=p^2;\ \ dt=2pdp [/latex], Sustituyendo:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\Gamma (1/2)=\displaystyle 2\int_{0}^{\infty} {p^{-1}e^{-p^2}pdp}[/latex]
Como podemos observar ya casi tiene la misma forma que erfc(x) para x=0, sólo nos falta la raíz cuadrada de pi en el denominador, para ello vamos a multiplicar por [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\sqrt{\pi}[/latex] al numerador y denominador, lo que finalmente nos quedará:.
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi} \displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \displaystyle \int_{0}^{\infty} {e^{-p^2}dp} [/latex]
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi} \cdot erfc(0)[/latex]
Se sabe que erfc(0)=1, por lo tanto:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi}[/latex]
Queda como tarea para el lector encontrar el factorial de -1/2 y de 3/4. Nos vemos!
