Relatividad General y Cosmología

I. Aspectos históricos

La teoría de la relatividad general fue formulada por Albert Einstein, llegando a su culminación en el año 1916, esta comprende la generalización de la teoría de la gravitación de Sir Isaac Newton, una teoría que trata al espacio y el tiempo como un solo ente o un tejido, al cual se le suele llamar el tejido del espacio-tiempo, y el contenido de energía en el universo capaz de deformar este tejido, siendo este efecto lo que llamamos gravedad. Podríamos considerar esta, como la obra cumbre de este físico y matemático. Las matemáticas utilizadas fueron las formuladas siglos anteriores por grandes matemáticos como Gauss, y Riemann. Estos estudiaron lo relacionado a espacios curvos, pero la aplicabilidad de los mismos no llegó a concretarse hasta que se inició el estudio físico del espacio.

II. Cosmología

La aplicabilidad directa que supone proporcionar la relatividad general es en el marco de la comprensión del universo como un todo, por ello se suele entender que la mecánica cuántica a estas escalas astronómica, resulta eludible su intervención.

Comenzaré describiendo la métrica FRW (Friedman, Robertson, Walker), que no es más que una de las múltiples soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Aclaro que este escrito presenta un contenido técnico para efectos de comprensión a través de las matemáticas, y para hacerle ver a las personas la importancia de su aplicación en el estudio del universo, pero con conocimientos básicos se que será capaz de entender a rasgos generales lo que aquí se está estudiando.

a. Geometría y Dinámica

La métrica FRW de un espacio-tiempo homogéneo e isotrópico es: 

Ecuación 1

Entendemos por homogeneidad la imposibilidad de distinguir características especiales entre dos volúmenes de espacio diferentes y por isotropía la invarianza de las características del universo con la dirección en qué miremos. Estos rasgos son esenciales para tratar la dinámica de este particular tipo de espacio-tiempo. Pregunto, podrá haber un universo homogéneo pero no isótropo o viceversa? Esas interrogantes se las planteo a fin de reflexionar.

Pero..¿podemos tratar el universo de esta manera? Pues sí, debido a que según mediciones realizadas con radiotelescopios a grandes escalas, el universo parece tener el mismo aspecto y con una densidad de materia en promedio con valores muy cercanos. 

Dicho esto, iniciaremos con Cinemática FRW

Las partículas en este espacio-tiempo evolucionan, de acuerdo a la ecuación geodésica:

 Ecuación 2

Siendo 

el cuadrimomento de la partícula.

En un universo que se expande, se suele escribir los componentes del cuadrimomento en términos del factor de escala y del momento lineal como:

Ecuación 3

Si tomamos una partícula sin masa como el fotón, se debe tomar en cuenta la siguiente restricción:

Ecuación 4

Ahora de considerarse el componente  μ=0 ,  en la ecuación 2, esta se convertiría en:

Ecuación 5

donde 

es el tiempo conforme

También existen coeficientes asociados con esta métrica:

Ecuación 6

Determinado esto, podemos comprender lo que le sucederá al fotón, sustituyendo la ecuación 3 y 6 en 5, resultando:

lo que al simplificar, se obtiene:

Ecuación final

resultando ser: 

 inversamente proporcionales.

III. Conclusiones

  • Una de las soluciones de las ecuaciones de campo es la del espacio-tiempo de FRW, caracterizado por un universo homógeneo e isotrópico.
  • La última ecuación, establece que un fotón al propagarse por el espacio, su energía decrecerá, por ende una mayor frecuencia, sufriendo así un corrimiento hacia el rojo.
  • Esto es lo que se observó en el año 1927, con el descubrimiento de la expansión del universo por Edwin Hubble en cuanto al distanciamiento entre galaxias, siendo Friedman, Lemaitre, Robertson y Walker los físicos teóricos que propusieron la expansión del universo como una solución de las ecuaciones de la teoría de la relatividad general.

 

Carlos Alfredo Narváez Gaitán        Correo: narvaezalfredo139@polimates.org

División de Astrofísica y Cosmología

Departamento de Física-Matemática 

POLÍMATES

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