A lo largo de nuestra preparación académica nos relacionamos indiscutiblemente con el álgebra (dolor de cabeza para muchos), y dentro de los temas más conocidos está la solución de ecuaciones polinómicas, las cuales por cierto, son de mucha importancia, puesto que, siempre que resolvemos ecuaciones del tipo exponencial, logarítmica o trigonométrica (entre otras), éstas tienden a reducirse a una polinómica. Es llegado a este punto, donde según el grado de la ecuación escogemos el método adecuado para encontrar su solución. Bien conocida es la ecuación cuadrática, la cual da solución a una ecuación de segundo grado. Pero, ¿hay una fórmula para resolver ecuaciones de grado mayor a 2?. Tomando en consideración el teorema de Abel-Ruffini, sólo es posible encontrar tales fórmulas para ecuaciones de grado 3 y 4. Entonces, ¿cuáles son estas fórmulas?
Las fórmulas para resolver ecuaciones de grado tres y cuatro se remonta al sigo XVI (tres siglos antes de la publicación del teorema de Abel-Ruffini) donde el médico, matemático y astrólogo Gerolamo Cardano publicaba una obra llamada Ars Magna que contenía un método para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas. La ecuación de la forma [latex size=0 color=000000 background=ffffff]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/latex], fácilmente (haciendo [latex size=0 color=000000 background=ffffff]x=z-\frac{a}{3}[/latex]) puede reducirse a una ecuación de la forma [latex size=0 color=000000 background=ffffff]z^{3}+pz+q=0[/latex], la solución de esta última viene dada por:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]z=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}[/latex]
Luego demostraré como se llega a esto. Hablemos un poco sobre la historia y las disputas que provocaron esta pequeña ecuación. En cierto momento de la historia de Niccolo Fontana (comúnmente conocido como Tartaglia) y Gerolamo Cardano se da una discusión por quién había sido el primero en encontrar una fórmula para resolver la ecuación de tercer grado. Tartaglia se había dado cuenta que un tal del Fiore había encontrado una fórmula para solucionar ecuaciones cúbicas, Tartaglia inmediatamente se pone a trabajar para encontrar el método por sí mismo. Más tarde, llega a oídos de Cardano que Tartaglia posee ésta fórmula, Cardano va en busca de Tartaglia para que le permita publicar su método en su obra Ars Magna a lo que Tartaglia accede a mostrárselo con la condición de que no sea publicado.
Tartaglia había encontrado un método para solucionar ecuaciones cúbicas que no poseían el término cuadrático, por lo tanto, a partir de estos métodos Cardano en colaboración de su ayudante Ferrari, encuentran un método para resolver la cúbica de la forma [latex size=0 color=000000 background=ffffff]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/latex]. Más tarde Cardano publica el método en su obra atribuyéndole el crédito a Tartaglia, aunque éste responde con ataques. Al final, el método se le atribuye a Cardano. Esto es lo que dice la historia, quizás hayan ocurrido otras cosas. Pero bien, ahora pasemos a la demostración de esta fórmula.
Dada una ecuación cúbica: [latex size=0 color=000000 background=ffffff]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/latex], se procede a hacer el cambio de variable [latex size=0 color=000000 background=ffffff]x=z-\frac{a}{3}[/latex], sustituyendo y simplificando se llega a [latex size=0 color=000000 background=ffffff]z^{3}+(b-\frac{a^{2}}{3})z + \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c=0[/latex].
La ecuación por lo tanto se reduce a [latex size=0 color=000000 background=ffffff]z^{3}+pz+q=0[/latex], donde se observa que:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\left \{ \begin{array}{c}p=b-\frac{a^{2}}{3}\\
q=\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c
\end{array} \right.
[/latex]Haciendo nuevamente un cambio de variable, z=u+v, se tiene: [latex size=0 color=000000 background=ffffff]z^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)=u^{3}+v^{3}+3uvz[/latex], igualando con la cúbica reducida se observa que:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]\left \{ \begin{array}{c}-p=3uv\\
-q=u^{3}+v^{3}
\end{array} \right.
[/latex]Resolviendo este sistema se encuentra que [latex size=0 color=000000 background=ffffff]v^{3}=\frac{-q \pm \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}[/latex]
Tomando el valor positivo del [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\pm[/latex] que precede a la raíz cuadrada, se encuentra que [latex size=0 color=000000 background=ffffff]u^{3}=\frac{-q – \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}[/latex]. El discriminante es [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\Delta=q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}[/latex], corresponde entonces, para las debidas soluciones, un análisis del discriminante. Por lo tanto nuestra solución viene dada por:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]z=\sqrt[3]{\frac{-q – \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}}[/latex]
Pero recordar, nuestra variable original es x. Entonces, la solución a la ecuación [latex size=0 color=000000 background=ffffff]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/latex], viene dada por:
[latex size=0 color=000000 background=ffffff]x=\sqrt[3]{\frac{-q – \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}}-\frac{a}{3}[/latex]
