EL POLINOMIO DE VILLAREAL

Federico Villarreal

Federico Villarreal fue un matemático, ingeniero, físico y políglota peruano que realizó investigaciones en el área de teoría de números, álgebra, geometría, análisis infinitesimal, mecánica, astronomía y resistencia de materiales. Su obra célebre, un método para elevar un polinomio de grado cualquiera a una potencia cualesquiera.

Muchos quizás conocen el binomio de newton, que no es mas que una combinación lineal entre los coeficientes binomiales que dependen del exponente y el número del término y las variables que conforman al binomio. Es decir:

$(a+b)^{n}=a^{n}+ {n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}a^{n-3}b^{3}+ \ldots+{n \choose n-1}ab^{n-1}+b^{n}$

Este binomio tiene las siguientes características:

El primer término del desarrollo es $a^{n}$ y el último es $b^{n}$
El desarrollo tiene exactamente n+1 términos
El k-ésimo término viene dado por $T_{k}={n \choose k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}$
Si el binomio es una suma todos los términos del desarrollo son positivos, si es una resta el signo de los términos va alternado.
En los términos consecutivos la potencia del primer término va disminuyendo en 1 mientras que la potencia del segundo va aumentando 1.

Dejando el binomio por un lado, viene lo excitante, los coeficientes del polinimio $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-3}x^{n-3}+ \ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ elevado a la potencia m $(m\in \mathbb{N})$ vienen dados por:

$b_{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} \left [ \frac{(k-i)(m+1)-k}{k} \right] \left( \frac{a_{k-i}}{a_{0}} \right)b_{i}$

Aunque la obra original trabaja un método para una potencia cualquiera, aquí vamos a trabajar con un exponente natural de tal forma que el polinomio resultante (el polinomio de Villarreal) sea de grado mn. Entonces, manos a la obra:

Sea el polinomio $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+ \ldots +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}$ , completo, ordenado y con $n \in N$ lo queremos elevar a una potencia m tal que $m \in \mathbb{N}$ , entonces se obtendrá un polinomio de grado mn (a partir de aquí tomaremos p=mn) que tendrá la forma: $g(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+ \ldots +b_{p-1}x^{p-1}+b_{p}x^{p}$ . Entonces:

$[f(x)]^{m}=g(x)$

$m[f(x)]^{m-1}f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$

$m[f(x)]^{m}f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)f(x)$

$mg(x)f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)f(x)$

Realizando las derivadas para f(x) y g(x) se tiene:

$f^{\prime}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+ \ldots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+na_{n}x^{n-1}$

$g^{\prime}(x)=b_{1}+2b_{2}x+3b_{3}x^{2}+ \ldots +(p-1)b_{p-1}x^{p-2}+pb_{p}x^{p-1}$

Se realizan los productos y posteriormente se procede a igualar los coeficientes de exponentes iguales, realizaré una porción de los productos y visualizaremos un patrón.

$mg(x)f^{\prime}(x)= \left \{ \begin{array}{c} ma_{1}b_{0}+ma_{1}b_{1}x+ma_{1}b_{2}x^{2}+ma_{1}b_{3}x^{3}+ma_{1}b_{4}x^{4}+ \ldots +ma_{1}b_{p-1}x^{p-1}+ma_{1}b_{p}x^{p}\\ +2ma_{2}b_{0}x+2ma_{2}b_{1}x^{2}+2ma_{2}b_{2}x^{3}+ \ldots +2ma_{2}b_{p-1}x^{p}+2ma_{2}b_{p}x^{p+1}\\ +3ma_{3}b_{0}x^{2}+3ma_{3}b_{1}x^{3}+3ma_{3}b_{2}x^{4}+3ma_{3}b_{3}x^{5}+ \ldots +3ma_{3}b_{p-1}x^{p+1}+3ma_{3}b_{p}x^{p+2}\\ \cdots \end{array}\right.$

$g^{\prime}(x)f(x)= \left \{ \begin{array}{c} a_{0}b_{1}+2a_{0}b_{2}x+3a_{0}b_{3}x^{2}+ \ldots +(p-1)a_{0}b_{p-1}x^{p-2}+pa_{0}b_{p}x^{p-1}\\ a_{1}b_{1}x+2a_{1}b_{2}x^{2}+3a_{1}b_{3}x^{3}+ \ldots +(p-1)a_{1}b_{p-1}x^{p-1}+pa_{1}b_{p}x^{p}\\ a_{2}b_{1}x^{2}+2a_{2}b_{2}x^{3}+3a_{2}b_{3}x^{4}+ \ldots + (p-1)a_{2}b_{p-1}x^{p}+pa_{2}b_{p}x^{p+1}\\ + \cdots \end{array} \right.$

Igualando los términos independientes (aquellos que no están asociados a una variable):

$ma_{1}b_{0}=a_{0}b_{1} \rightarrow$ [latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{1}=\left[ \frac{(m+1)-1}{1} \right] \left( \frac{a_{1}}{a_{0}} \right)b_{0}[/latex]

Igualando los términos lineales:

$ma_{1}b_{1}+2ma_{2}b_{0}=2a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1} \rightarrow$ [latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{2}= \left[ \frac{(m+1)-2}{2} \right] \left( \frac{a_{1}}{a_{0}}\right)b_{1}+\left[ \frac{2(m+1)-2}{2} \right] \left( \frac{a_{2}}{a_{o}}\right) b_{0}[/latex]

igualando los términos cuadráticos:

$ma_{1}b_{2}+2ma_{2}b_{1}+3ma_{3}b_{0}=3a_{0}b_{3}+2a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1} \rightarrow$ [latex size=0 color=000000 background=ffffff]b_{3}=\left[ \frac{(m+1)-3}{3} \right]\left( \frac{a_{1}}{a_{0}}\right)b_{2}+\left[ \frac{2(m+2)-3}{3}\right]\left( \frac{a_{2}}{a_{0}}\right)b_{1}+\left[ \frac{3(m+1)-3}{3}\right] \left( \frac{a_{3}}{a_{0}}\right)b_{0}[/latex]

Podemos seguir así el resto de nuestras vidas, igualando e igualando, pero podemos hacer algo mejor, notar si los coeficientes vienen descritos por algún término general, si ya lo notaron es:

$b_{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} \left [ \frac{(k-i)(m+1)-k}{k} \right] \left( \frac{a_{k-i}}{a_{0}} \right)b_{i}$

Evidentemente, $b_{0}={a_{0}}^{m}$ . Todo este resultado es más conocido como el polinomio finito de Villarreal, quizás en otro momento trabajemos este mismo tema pero con polinomios infinitos y un m que pertenezca a los reales, pero por ahora, a disfrutar la nueva entrada. Si tienes algún tema de interés que quieras que abordemos puedes dejarlo en los comentarios. Saludos!!